Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 38 − 1 Racines des polynômes par Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis es polynômes sont, d’une part, un outil privilégié de l’algèbre, d’autre part, un moyen commode et puissant d’investigation en analyse. Dans les deux cas, les racines des polynômes en une indéterminée jouent un rôle fondamental, soit dans le cadre arithmético-algébrique des extensions de corps, soit dans les nombreux problèmes numériques liés à l’approximation par des polynômes : interpolation, résolution d’équations numériques, par exemple. Bien entendu, de nombreux autres domaines sont concernés : recherche des valeurs propres d’une matrice et, partant, étude des systèmes dynamiques discrets ou continus, linéaires ou non ; arithmétique traditionnelle, géométrie complexe, géométrie algébrique réelle en sont des spécimens. L’objet de cet article est de donner quelques outils assez généraux liés à la localisation, la séparation ou l’estimation des racines de polynômes, essentielle- 1. Résultant .................................................................................................... AF 38 – 2 1.1 Matrice de Sylvester.................................................................................... — 2 1.2 Résultant de deux polynômes.................................................................... — 2 1.3 Propriétés formelles du résultant............................................................... — 3 1.4 Applications ................................................................................................. — 4 1.5 Discriminant d’un polynôme ...................................................................... — 4 2. Localisation des racines......................................................................... — 5 2.1 Taille d’un polynôme................................................................................... — 5 2.1.1 Généralités .......................................................................................... — 5 2.1.2 Longueur, hauteur, normes d’un polynôme..................................... — 5 2.1.3 Mesure d’un polynôme...................................................................... — 6 2.2 Localisation collective ................................................................................. — 7 2.3 Séparant ....................................................................................................... — 9 2.4 Localisation dans un demi-plan ................................................................. — 9 2.5 Racines d’un polynôme et de sa dérivée................................................... — 11 2.5.1 Cas d’un polynôme à coefficients complexes.................................. — 11 2.5.2 Racines réelles d’un polynôme à coefficients réels......................... — 12 2.6 Nombre de racines réelles d’un polynôme à coefficients réels............... — 12 2.6.1 Méthode de Sturm.............................................................................. — 12 2.6.2 Mise en œuvre .................................................................................... — 13 3. Estimation des racines ........................................................................... — 13 3.1 Expression intégrale des racines................................................................ — 13 3.2 Continuité des racines................................................................................. — 14 3.2.1 Continuité collective........................................................................... — 14 3.2.2 Continuité individuelle des racines................................................... — 15 3.3 Détermination d’une racine de plus grand module.................................. — 15 3.3.1 Utilisation de suites récurrentes........................................................ — 15 3.3.2 Méthode de Graeffe............................................................................ — 16 L