Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF166 − 1 Probabilités Concepts fondamentaux par Sylvie MÉLÉARD Université Paris 10, MODALX Laboratoire de probabilités et modèles aléatoires Paris 6 et 7 n trouvera dans l’article [AF 165] « Probabilités. Présentation » un historique et une description du développement de cette science de l’aléatoire que sont les probabilités. On pourra y trouver un certain nombre d’exemples moti- vant son intérêt dans la modélisation de nombreux phénomènes auxquels s’intéressent quotidiennement les ingénieurs (files d’attente, rupture, turbu- lence, mathématiques financières…). Cet article introduit toutes les notions de base de la théorie des probabilités et permet d’acquérir le raisonnement probabiliste. La théorie des probabilités ne peut se construire axiomatiquement qu’en utilisant la théorie de la mesure et de l’intégration. Nous n’en donnerons dans ce texte que les éléments nécessaires à sa bonne compréhension, sans exiger de prérequis dans ce domaine. Les outils modernes du calcul stochastique et les méthodes de Monte-Carlo propres à la simulation seront développés dans d’autres articles. 1. Espace de probabilités ........................................................................... AF 166 – 2 1.1 Langage des probabilités............................................................................ — 2 1.2 Probabilité sur un espace fini. Calcul combinatoire ................................. — 4 1.3 Conditionnement et indépendance............................................................ — 5 2. Variables aléatoires................................................................................. — 8 2.1 Définition...................................................................................................... — 8 2.2 Loi d’une variable aléatoire ........................................................................ — 8 2.3 Intégrale par rapport à une mesure de probabilité................................... — 9 2.4 Indépendance de variables aléatoires ....................................................... — 10 2.5 Variables aléatoires à valeurs réelles......................................................... — 10 2.6 Cas des v.a.r. discrètes ................................................................................ — 13 2.7 Cas des v.a.r. à densité................................................................................ — 14 2.8 Indépendance de v.a.r. ................................................................................ — 16 3. Vecteurs aléatoires.................................................................................. — 17 3.1 Loi conjointe et lois marginales ................................................................. — 17 3.2 Vecteurs gaussiens...................................................................................... — 18 4. Modes de convergence. Théorèmes limites fondamentaux ........ — 19 4.1 Différents modes de convergence ............................................................. — 19 4.2 Loi des grands nombres ............................................................................. — 21 4.3 Théorème de la limite centrale................................................................... — 22 Références bibliographiques ......................................................................... — 24 O