Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 160 − 1 A 160 4 - 1997 Fonctions hypergéométriques Fonctions de Bessel par Pascal MARONI Docteur ès sciences mathématiques Directeur de recherche au CNRS près les fonctions eulériennes qui interviennent de façon universelle, ce sont sans aucun doute les fonctions hypergéométriques – la fonction de Gauss et les fonctions confluentes – qui fournissent les exemples les plus simples de la mise en œuvre des processus fondamentaux de l’analyse. En effet, la fonc- tion de Gauss, définie par une série entière, apparaît comme une généralisation naturelle de la série géométrique et relève ainsi des méthodes de la théorie des fonctions analytiques. On peut en dire autant des fonctions confluentes, en par- ticulier de la fonction de Kummer qui généralise, elle, la fonction exponentielle. 1. Fonctions hypergéométriques.............................................................. A 160 - 2 1.1 Fonction de Gauss....................................................................................... — 2 1.1.1 La série hypergéométrique et son prolongement analytique ........ — 2 1.1.2 Propriétés élémentaires ..................................................................... — 3 1.1.3 Équation différentielle........................................................................ — 4 1.1.4 Transformations de la fonction hypergéométrique......................... — 5 1.1.5 Cas particuliers ................................................................................... — 8 1.2 Fonctions hypergéométriques confluentes............................................... — 8 1.2.1 Série de Kummer................................................................................ — 8 1.2.2 Fonctions hypergéométriques confluentes de seconde espèce..... — 10 1.2.3 Comportement asymptotique des fonctions hypergéométriques confluentes.......................................................................................... — 12 1.2.4 Représentations intégrales ................................................................ — 13 1.2.5 Cas particuliers ................................................................................... — 14 1.3 Fonctions hypergéométriques généralisées ............................................. — 15 1.3.1 Définitions ........................................................................................... — 15 1.3.2 Équation différentielle........................................................................ — 15 1.3.3 Cas particuliers ................................................................................... — 16 2. Fonctions de Bessel................................................................................. — 16 2.1 Fonctions de Bessel d’ordre entier............................................................. — 16 2.1.1 Fonction génératrice........................................................................... — 16 2.1.2 Relations de récurrence ..................................................................... — 16 2.1.3 Équation différentielle........................................................................ — 16 2.1.4 Origine des fonctions de Bessel........................................................ — 16 2.2 Fonctions de Bessel d’ordre quelconque .................................................. — 17 2.2.1 Équation différentielle........................................................................ — 17 2.2.2 Fonctions de Bessel de deuxième espèce........................................ — 17 2.2.3 Fonctions de Bessel de troisième espèce......................................... — 18 2.2.4 Fonctions de Bessel modifiées.......................................................... — 18 2.2.5 Fonctions de Bessel d’indice demi-entier......................................... — 19 2.3 Représentations intégrales ......................................................................... — 19 2.3.1 Fonctions de première espèce........................................................... — 19 2.3.2 Fonctions de troisième espèce.......................................................... — 20 2.4 Comportement asymptotique .................................................................... — 20 2.5 Zéros des fonctions de Bessel.................................................................... — 21 2.5.1 Généralités .......................................................................................... — 21 2.5.2 Propriété des zéros positifs de Jν pour ν > 0.................................... — 22 Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. A 160 A