Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 125 − 1 A 125 11 - 1982 Calcul tensoriel par Gilles CHÂTELET Ancien Élève de l’École Normale Supérieure de St-Cloud Docteur ès Sciences Mathématiques Professeur à l’Université de Paris VIII n mécanique classique, et spécialement en mécanique newtonienne, les effets physiques résultent des forces agissant sur les corps solides. Comme objet mathématique, la force est un vecteur. Il existe une définition intrinsèque purement opératoire des vecteurs comme éléments d’un espace vectoriel E sur un corps K (article Calcul matriciel [AF 86] dans le présent traité). Nous verrons (§ 1.1) qu’il existe une autre définition des vecteurs, plus satisfaisante pour le physicien, et d’ailleurs plus fructueuse d’inspiration pour le mathéma- ticien. Certains domaines de la physique, en particulier la mécanique des milieux continus (article [A 303] Déformation et contraintes dans un milieu continu et autres articles de la rubrique Calcul des structures dans le présent traité), privilégient d’autres concepts mathématiques : en particulier le concept de tenseur. Il existe deux définitions équivalentes des tenseurs en dimension finie (dans la suite de cet article, nous nous limiterons au calcul tensoriel sur les espaces de dimension finie) : — le calcul tensoriel intrinsèque, qui est l’introduction d’une multiplication formelle sur un espace vectoriel ; — le calcul tensoriel des physiciens : un tenseur est un tableau de nombres attaché à une base particulière de l’espace vectoriel E et se transforme suivant une loi donnée par changement de base. 1. Dualité. Covariance et contravariance dans un espace vectoriel A 125 - 2 1.1 Les vecteurs des physiciens. Contravariance............................................ — 2 1.2 Espace dual. Covariance ............................................................................. — 2 1.3 Dualité dans les espaces pseudo-euclidiens. Composantes covariantes et contravariantes d’un vecteur.................................................................. — 3 2. Tenseurs en dimension finie ................................................................. — 4 2.1 Tenseurs comme formes multilinéaires .................................................... — 4 2.2 Opérations sur les espaces de tenseurs .................................................... — 5 2.3 Dimension de l’espace des tenseurs mixtes ............................................. — 5 2.4 Tenseurs euclidiens ..................................................................................... — 6 3. Tenseurs antisymétriques. Formes extérieures............................... — 7 3.1 Définition...................................................................................................... — 7 3.2 L’espace . Dimension et produit extérieur ......................................... — 7 3.3 L’espace . Déterminants ...................................................................... — 8 3.4 Comportement des composantes strictes par changement de base...... — 9 3.5 Dualité dans le produit extérieur................................................................ — 9 4. Application du calcul tensoriel à la relativité restreinte.............. — 11 4.1 Introduction et rappels................................................................................ — 11 4.2 Géométrie de la relativité............................................................................ — 12 4.3 Dynamique de la relativité.......................................................................... — 13 4.4 Électromagnétisme en relativité................................................................. — 14 Références bibliographiques ......................................................................... — 15 E ∧ p E ∧ n E