Programme du concours d’accès au cycle de préparation à l’Agrégation de Mathématiques UCFC-Janvier 2014 Les épreuves écrites et orales portent sur les notions et les résultats indiqués dans les deux sections suivantes. Algèbre et de géométrie 1. Structures algébriques : Groupes, Sous-groupes, Sous-groupe engendré par une partie, Groupe cyclique, Morphisme de groupes, Ordre d’un groupe, Ordre d’un élément, Théorème de Lagrange. Groupe symétrique et Groupe alterné : Décomposition d’une permutation en produit de trans- positions, en produit de cycles à supports disjoints : Signature. Anneaux et corps, Sous-anneaux (au sens des anneaux unitaires), Morphisme d’anneaux, Caractéristique d’un anneau, Corps, Sous-corps, Corps premier, Corps de fractions d’un anneau intègre. Idéaux, Idéaux premiers et idéaux Maximaux. Divisibilité dans les anneaux intègres, Éléments associés, Éléments irréduc- tibles et éléments premiers, PGCD et PPCM, Cas des anneaux principaux : Algorithme d’Euclide. Congruences dans Z, Nombres premiers, Anneau Z/nZ, Théorèmes de Bezout et de Gauss. Le corps Q des nombres rationnels, le corps R des nombres réels, le corps C des nombres com- plexes, Théorème de D’Alembert-Gauss. 2. Anneaux de polynômes à une indéterminée à coefficients dans un sous anneau A de C, Construc- tion de A[X], Algorithme de la division euclidienne. Fonction polynôme, Racines et multiplicités, Polynôme dérivé, Formule de Taylor. Arithmétique dans K[X] (K un sous-corps de C), Algorithme d’Euclide, Théorème de Bezout et de Gauss, Polynômes irréductibles, Contenu d’un polynôme, Polynôme primitif, Critère d’Eisenstein. Relations entre les coefficients et les racines d’un po- lynôme scindé, Sommes de Newton. Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur K, Décomposition en éléments simples. Définition d’un polynômes à plusieurs indéterminées à co- efficients dans K, Définition de polynômes symétriques. 3. Algèbre linéaire : Espaces vectoriels, applications linéaires. Produit d’espaces vectoriels. Sous- espaces vectoriels et sous espaces affines, Espaces quotients, Somme de sous-espaces, Somme directe, Supplémentaires. Familles libres, génératrices et bases, Applications linéaires, Image et noyau, Algèbre des endomorphismes d’un espace vectoriel E, Groupe linéaire GL (E), Sous- espaces stables d’un endomorphisme, Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres. 4. Espaces vectoriels de dimension finie : Existence de bases, Isomorphisme avec Kn, Existence de supplémentaires d’un sous-espace, Rang d’une application linéaire, Rang d’un système de vecteurs, Espace dual, Rang d’un système d’équations linéaires, Base duale. 5. Applications multilinéaires : Déterminant d’un système de vecteurs, d’un endomorphis- me, Groupe spécial linéaire SL(E), Orientation d’un R-espace vectoriel. 1