Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 154 − 1 A 154 11 - 1994 Fonctions eulériennes. Polynômes orthogonaux classiques par Pascal MARONI Docteur ès Sciences Mathématiques Directeur de Recherche au CNRS 1. L’outillage................................................................................................... A 154 - 1 1.1 Séries, produits, intégrales......................................................................... — 2 1.1.1 Suites, séries....................................................................................... — 2 1.1.2 Produits infinis.................................................................................... — 3 1.1.3 Intégrales............................................................................................. — 4 1.2 Fonctions polynomiales. Orthogonalité .................................................... — 4 1.2.1 Généralités .......................................................................................... — 4 1.2.2 Orthogonalité régulière...................................................................... — 5 2. Fonctions eulériennes............................................................................. — 6 2.1 Fonction gamma.......................................................................................... — 6 2.1.1 Définitions ........................................................................................... — 6 2.1.2 Une formule d’Euler ........................................................................... — 9 2.1.3 Formule des compléments ................................................................ — 9 2.1.4 Formule de multiplication de Legendre-Gauss................................ — 10 2.1.5 Formule de Stirling............................................................................. — 11 2.2 Fonction bêta ............................................................................................... — 11 2.2.1 Définition............................................................................................. — 11 2.2.2 Formule généralisée des compléments............................................ — 11 2.2.3 Applications ........................................................................................ — 12 2.3 Fonction digamma....................................................................................... — 12 2.3.1 Définition............................................................................................. — 12 2.3.2 Série de Jensen .................................................................................. — 13 2.3.3 Intégrale de Raabe.............................................................................. — 13 2.3.4 Une représentation intégrale de la fonction psi............................... — 14 2.3.5 Fonction de Binet................................................................................ — 14 2.3.6 Retour sur la formule de Stirling....................................................... — 15 2.3.7 Première intégrale de Binet ............................................................... — 15 3. Polynômes orthogonaux classiques................................................... — 16 3.1 Définitions .................................................................................................... — 16 3.1.1 Définition de Hahn.............................................................................. — 16 3.1.2 Équation fonctionnelle ....................................................................... — 17 3.1.3 Équation différentielle linéaire du second ordre.............................. — 18 3.1.4 Les deux relations de structure ......................................................... — 19 3.1.5 Formule de Rodrigues........................................................................ — 21 3.2 Construction des polynômes classiques ................................................... — 21 3.2.1 Système vérifié par .............................................. — 21 3.2.2 Résolution du système (95)-(96)........................................................ — 22 3.2.3 Les quatre situations canoniques...................................................... — 23 3.2.4 Représentations intégrales ................................................................ — 25 3.2.5 Retour sur la formule de Rodrigues.................................................. — 27 Références bibliographiques ......................................................................... — 28 βn ,γn 1 + ,β˜n ,γ˜n 1 +