Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 101 − 1 A 101 2 - 1994 Analyse fonctionnelle par André WARUSFEL Professeur de Mathématiques Spéciales au Lycée Louis-le-Grand a topologie n’est pas seulement une théorie abstraite, essentiellement des- tinée à préciser les fondements de l’analyse. Elle a été construite dans un but précis : décupler la puissance de cette dernière en la fécondant par un point de vue algébrico-géométrique permettant de lui appliquer les outils de base de l’algèbre linéaire (évidemment en dimension infinie). Les précurseurs de cette révolution, connue sous le nom d’analyse fonctionnelle, sont essentiellement David Hilbert et Stefan Banach. Sans cette source d’intuition et les méthodes qui se sont développées autour d’elle, les applications performantes des mathématiques au monde scientifique d’aujourd’hui seraient restées bien moins efficaces. 1. Espaces vectoriels normés.................................................................... A 101 - 2 1.1 Rappels d’algèbre linéaire .......................................................................... — 2 1.2 Normes sur un espace vectoriel réel ......................................................... — 3 1.3 Produit de deux espaces vectoriels normés.............................................. — 4 1.4 Espaces vectoriels normés de dimension finie......................................... — 5 1.5 Applications linéaires continues entre espaces vectoriels normés......... — 5 1.6 Applications multilinéaires continues........................................................ — 6 1.7 Convergence uniforme................................................................................ — 6 1.8 Sous-espaces d’un espace vectoriel normé.............................................. — 8 2. Espaces de Banach .................................................................................. — 8 2.1 Définitions d’un espace de Banach............................................................ — 8 2.2 Constructions d’espaces de Banach .......................................................... — 9 2.3 Sous-espaces supplémentaires topologiques .......................................... — 9 2.4 Groupe des automorphismes continus d’un Banach............................... — 10 3. Dualité......................................................................................................... — 10 3.1 Norme d’une forme linéaire continue........................................................ — 10 3.2 Existence de formes linéaires discontinues .............................................. — 11 3.3 Espaces bidual et bidual topologique........................................................ — 11 4. Espaces de Hilbert ................................................................................... — 11 4.1 Définition d’un espace de Hilbert............................................................... — 11 4.2 Bases hilbertiennes ..................................................................................... — 12 4.3 Sous-espaces supplémentaires topologiques .......................................... — 12 4.4 Orthogonalité dans un Hilbert.................................................................... — 12 4.5 Projection orthogonale dans un Hilbert..................................................... — 13 4.6 Espace dual topologique d’un Hilbert........................................................ — 14 4.7 Transposition entre espaces de Hilbert ..................................................... — 15 4.8 Adjonction entre espaces de Hilbert.......................................................... — 15 5. Espaces fonctionnels fondamentaux ................................................. — 17 5.1 Espaces vectoriels normés de fonctions à variable entière (suites)........ — 17 5.2 Espaces vectoriels normés de fonctions à variable réelle ....................... — 18 6. Théorèmes de Banach et de Baire....................................................... — 19 6.1 Théorèmes de Hahn-Banach ...................................................................... — 19 6.2 Espaces de Baire.......................................................................................... — 19 6.3 Autres théorèmes de Banach ..................................................................... — 20 7. Théorie des opérateurs compacts....................................................... — 20 Références bibliographiques ......................................................................... — 21 L