Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 162 − 1 Introduction aux équations aux dérivées partielles linéaires par Gérard DEBEAUMARCHÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims n se propose dans cet article de décrire quelques propriétés élémentaires des équations aux dérivées partielles (e.d.p.) linéaires du second ordre à coefficients constants, autrement dit, dans le cas de deux variables, des équa- tions de la forme : (E) où a, b, c, α, β, γ désignent six nombres réels donnés (a, b, c étant non tous nuls), F une fonction continue de deux variables réelles définie sur un ouvert U du plan et u une fonction inconnue, supposée de classe C 2. On distingue a priori deux types de problèmes : 1. Classification des e.d.p. linéaires du second ordre ....................... AF 162 - 3 2. Une équation hyperbolique : l’équation des ondes........................ — 4 2.1 Équation des cordes vibrantes ................................................................... — 4 2.1.1 Cas d’une corde infinie....................................................................... — 4 2.1.2 Cas d’une corde finie.......................................................................... — 5 2.2 Généralisation : l’équation des ondes en dimension n............................ — 7 3. Une équation parabolique : l’équation de la chaleur..................... — 7 3.1 Équation de la chaleur en dimension 1 ..................................................... — 7 3.1.1 Cas d’une barre infinie ....................................................................... — 7 3.1.2 Cas d’une barre finie .......................................................................... — 9 3.2 Généralisation : équation de la chaleur en dimension n.......................... — 11 4. Une équation elliptique : l’équation de Laplace ............................. — 12 4.1 Présentation ................................................................................................. — 12 4.2 L’équation de Laplace et les fonctions harmoniques dans un ouvert U. — 12 4.3 L’équation de Laplace et le problème de Dirichlet dans un cercle .......... — 14 4.3.1 Unicité d’une éventuelle solution par le principe du maximum ............................................................. — 14 4.3.2 Existence d’une solution par la méthode de séparation des variables............................................................... — 15 4.4 L’équation de Laplace et le problème de Neumann dans un cercle........ — 16 4.4.1 Généralités .......................................................................................... — 16 4.4.2 Unicité à une constante additive près d’une éventuelle solution... — 17 4.4.3 Existence d’une solution par la méthode de séparation des variables............................................................... — 17 4.5 Le potentiel newtonien et l’équation de Poisson...................................... — 18 5. Théorie spectrale et séparation des variables................................. — 18 Références bibliographiques ........................................................................ — 21 O a ∂2u ∂x 2 ----------- b ∂2u ∂x∂y ------------- c ∂2u ∂y 2 ----------- α ∂u ∂x ------ β ∂u ∂y ------ γu + + + + + F x y , ( ) =