Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 33 − 1 Langage des ensembles et des structures par Bernard RANDÉ Ancien élève de l’école normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis ’article qui suit a pour seul objet de fournir un dictionnaire élémentaire des notions et des outils les plus communément employés. On n’y cherchera ni théorie élaborée, ni même approche formaliste. Seules les définitions sont don- nées. Les résultats qu’appelleraient les théories correspondantes (théorie des ensembles ordonnés, des groupes, des anneaux et des corps) ne sont en aucun cas fournis. Ils feront l’objet, pour certains d’entre eux, d’articles spécifiques. 1. Présentation............................................................................................... AF 33 - 2 2. Le langage des ensembles...................................................................... — 2 2.1 Le vocabulaire de base ................................................................................ — 2 2.11 Introduction.......................................................................................... — 2 2.12 Appartenance à un ensemble............................................................. — 3 2.13 Inclusion............................................................................................... — 3 2.14 Complémentaire.................................................................................. — 4 2.15 Intersection. Réunion .......................................................................... — 4 2.16 Fonction caractéristique d’un sous-ensemble .................................. — 5 2.17 Partition d’un ensemble...................................................................... — 5 2.18 Produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles.............................. — 5 2.2 Applications, relations ................................................................................. — 5 2.21 Fonction................................................................................................ — 5 2.22 Application........................................................................................... — 6 2.23 Relation binaire.................................................................................... — 6 2.24 Relation d’équivalence........................................................................ — 6 2.25 Relation d’ordre................................................................................... — 7 2.26 Composition des applications............................................................ — 9 2.27 Action d’une application sur un sous-ensemble de la source ou du but.............................................................................................. — 9 2.28 Surjection, injection, bijection............................................................ — 9 2.29 Factorisation d’une application.......................................................... — 10 2.210 Application monotone ....................................................................... – 11 3. Les structures algébriques fondamentales ....................................... — 11 3.1 Introduction................................................................................................... — 11 3.2 Loi de composition interne.......................................................................... — 11 3.3 Élément neutre. Élément symétrisable....................................................... — 12 3.4 Structure de groupe ..................................................................................... — 13 3.5 Groupe abélien ............................................................................................. — 14 3.6 Structure d’anneau....................................................................................... — 14 3.7 Structure de corps........................................................................................ — 16 L