Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 110 − 1 A 110 10 - 1996 Intégration par Danièle LINO Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres Agrégée de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri-IV et Bernard RANDÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis 1. Présentation élémentaire de l’intégrale............................................ A 110 - 3 1.1 Construction de l’intégrale d’une application réglée................................ — 3 1.1.1 Classes d’applications définies sur un segment.............................. — 3 1.1.2 Intégrale d’une application en escalier............................................. — 5 1.1.3 Intégrale d’une application réglée..................................................... — 6 1.2 Formule fondamentale du calcul intégral.................................................. — 7 1.2.1 Intégrale dépendant d’une borne...................................................... — 7 1.2.2 Formule fondamentale....................................................................... — 8 1.3 Techniques de calcul d’intégrales .............................................................. — 9 1.3.1 Intégration par parties........................................................................ — 9 1.3.2 Changement de variable.................................................................... — 11 1.4 Notion d’intégrale impropre....................................................................... — 11 1.4.1 Généralités .......................................................................................... — 11 1.4.2 Critères de convergence .................................................................... — 13 1.5 Fonctions définies par une intégrale.......................................................... — 15 1.5.1 Cas de l’intégrale d’une application réglée ...................................... — 15 1.5.2 Cas des intégrales impropres............................................................ — 16 1.6 Intégrale d’une fonction continue à support compact sur ................ — 16 2. Intégrale de Lebesgue............................................................................. — 17 2.1 Préliminaires ................................................................................................ — 17 2.1.1 Droite numérique achévée................................................................. — 17 2.1.2 Applications continues à support compact ...................................... — 17 2.2 Intégrale supérieure, intégrale inférieure d’une application de dans ............................................................................................. — 18 2.2.1 La classe ......................................................................................... — 18 2.2.2 Intégrale supérieure, intégrale inférieure d’une application à valeurs dans ................................................................................... — 20 2.3 Fonctions négligeables ............................................................................... — 21 2.4 Fonctions intégrables.................................................................................. — 22 2.4.1 Intégrabilité ......................................................................................... — 22 2.4.2 Propriétés de l’intégrale..................................................................... — 23 2.4.3 Critères d’intégrabilité........................................................................ — 24 2.4.4 Cas des fonctions positives ............................................................... — 24 2.5 Théorèmes fonctionnels ............................................................................. — 24 2.5.1 Théorèmes d’interversion.................................................................. — 24 2.5.2 Théorèmes fonctionnels .................................................................... — 25 2.5.3 Intégrale sur un sous-ensemble........................................................ — 27 2.6 Lien avec l’intégrale élémentaire sur .................................................... — 27 2.7 Intégrales multiples..................................................................................... — 28 2.7.1 Théorèmes de Lebesgue et Fubini.................................................... — 28 2.7.2 Théorème de changement de variables ........................................... — 28 Rn Rn R � R R