Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 86 - 1 Calcul matriciel par Gérard DEBEAUMARCHÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims et Danièle LINO Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims e très nombreux problèmes issus des mathématiques ou de leurs applica- tions conduisent à l’étude (et à la résolution) de systèmes d’équations linéaires. Le système (S) : 1. Matrices d’une application linéaire. Opérations sur les matrices................................................................... AF 86 3 1.1 Matrice d’une application linéaire............................................................... — 3 1.2 Somme et produit par un scalaire .............................................................. — 3 1.3 Produit de deux matrices............................................................................. — 4 1.4 Matrices carrées ........................................................................................... — 4 2. Changement de bases ............................................................................. — 5 2.1 Matrices de passage..................................................................................... — 5 2.2 Matrices équivalentes. Matrices semblables ............................................. — 6 3. Rang d’une matrice .................................................................................. — 6 4. Matrices équivalentes ............................................................................. — 7 5. Algorithme du pivot de Gauss. Conséquences ................................ — 7 5.1 Manipulations élémentaires sur les matrices ............................................ — 7 5.2 Diverses formes de l’algorithme du pivot de Gauss ................................. — 8 6. Déterminants ............................................................................................. — 10 6.1 Généralités.................................................................................................... — 10 6.2 Étude des formes n-linéaires alternées sur E (dim E = n) ......................... — 10 6.3 Déterminant d’une matrice carrée et d’un endomorphisme .................... — 11 6.4 Calcul des déterminants .............................................................................. — 12 6.5 Application des déterminants ..................................................................... — 14 7. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées ............ — 15 7.1 Éléments propres d’un endomorphisme et d’une matrice carrée ........... — 15 7.2 Trigonalisation et théorème de Hamilton-Cayley ...................................... — 17 7.3 Diagonalisation des endomorphismes et des matrices carrées............... — 18 7.4 Diagonalisation par blocs ............................................................................ — 21 D a11x1 ¼ a1p xp + + b1 = � � an1x1 ¼ anp xp bn = + + î ï ï í ï ï ì