Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 85 - 1 Algèbre linéaire par Gérard DEBEAUMARCHÉ Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims et Danièle LINO Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims e champ de l’algèbre linéaire s’est longtemps limité à la résolution des sys- tèmes d’équations linéaires AX = B, c’est-à-dire : C’est en 1750 que Cramer publie à Genève, dans « L’introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques », ses célèbres formules donnant l’expression 1. Algèbre linéaire en dimension quelconque....................................... AF 85 2 1.1 Espaces vectoriels sur un corps commutatif ........................................ — 2 1.1.1 Généralités........................................................................................... — 2 1.1.2 Produits d’espaces vectoriels............................................................. — 2 1.1.3 Combinaisons linéaires....................................................................... — 3 1.1.4 Familles libres, génératrices, bases................................................... — 3 1.2 Sous-espaces vectoriels............................................................................... — 4 1.2.1 Définition. Caractérisation .................................................................. — 4 1.2.2 Intersection de sous-espaces, sous-espaces engendrés.................. — 5 1.2.3 Sommes et sommes directes............................................................. — 5 1.3 Applications linéaires................................................................................... — 6 1.3.1 Définitions............................................................................................ — 6 1.3.2 Images et noyaux ................................................................................ — 7 1.4 Exemples d’applications linéaires............................................................... — 9 1.4.1 Projections et projecteurs................................................................... — 9 1.4.2 Symétries et involutions..................................................................... — 10 1.5 Endomorphismes d’un espace vectoriel E................................................. — 10 1.5.1 Sous-espaces stables.......................................................................... — 10 1.5.2 Droites stables et sous-espaces propres........................................... — 10 1.5.3 Sous-espaces stables et commutation des endomorphismes........ — 12 2. Algèbre linéaire en dimension finie..................................................... — 12 2.1 Espaces vectoriels de dimension finie........................................................ — 12 2.1.1 Existence de bases .............................................................................. — 12 2.1.2 Exemples d’espaces vectoriels de dimension finie.......................... — 13 2.2 Sous-espaces vectoriels de dimension finie.............................................. — 14 2.3 Formes linéaires et hyperplans................................................................... — 15 2.3.1 Formes linéaires .................................................................................. — 15 2.3.2 Exemples.............................................................................................. — 16 2.3.3 Hyperplans........................................................................................... — 17 2.3.4 Applications des hyperplans à l’étude des sous-espaces d’un espace vectoriel de dimension finie.......................................... — 19 � L a11 ¼ a1n � � an1 ¼ ann x1 � xn b1 � bn =