Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 140 − 1 A 140 5 - 1981 Quaternions Application aux rotations dans l’espace par Jean-Claude RADIX Ingénieur civil des Télécommunications Ingénieur à la Société Nationale Industrielle Aérospatiale Professeur à l’École Nationale Supérieure de l’Aéronautique et de l’Espace (ENSAE) et à l’École Nationale Supérieure des Techniques Avancées (ENSTA) ’utilisation des nombres complexes (de la forme a + ib, avec a et b réels et i2 = – 1, permet de résoudre élégamment certains problèmes de géométrie plane, dans lesquels interviennent des déplacements et des similitudes, et en particulier des rotations autour du point zéro, origine des coordonnées. Un nombre complexe a + ib, ou encore ρeiθ sous sa notation polaire, devient ainsi un opérateur et réalise, par la multiplication, une rotation d’angle θ suivie d’une homothétie de rapport ρ. La généralisation de cette méthode aux problèmes de géométrie dans l’espace (à trois dimensions) a naturellement tenté un certain nombre de mathématiciens. La difficulté provenait du fait qu’ils cherchaient à résoudre cette question en respectant simultanément deux contraintes : — conservation de la validité des règles habituelles du calcul algébrique (associativité et commutativité de l’addition et de la multiplication, distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, etc.) ; — aptitude du nouveau concept à l’étude des rotations autour de l’origine. Ce fut le mathématicien et astronome irlandais Hamilton qui réussit en 1843, après une dizaine d’années de recherches, à dégager les points suivants, aboutissant ainsi à la découverte des quaternions [1] [2] [3] : — la généralisation des doublets (a, b) représentant les nombres complexes ne peut pas être faite au moyen de triplets (a, b, c) pour des raisons d’ordre purement algébrique ; par contre, cette généralisation peut être effectuée au moyen de quadruplets (a, b, c, d) ; — l’algèbre recherchée doit présenter un caractère non commutatif traduisant la non-commutativité (en général) des produits de rotations autour d’un point, dans l’espace à trois dimensions. Hamilton réussit ainsi à définir un ensemble de nombres à quatre composantes, présentant une structure de corps non commutatif (cf article Langages des ensembles et structures [AF 33] dans le présent traité), que lui-même et ses élèves 1. Définition et propriétés des quaternions.......................................... A 140 - 2 2. Représentation d’une rotation par un quaternion.......................... — 3 3. Application aux produits de rotations............................................... — 5 3.1 Première méthode....................................................................................... — 5 3.2 Deuxième méthode ..................................................................................... — 5 3.3 Représentation de l’attitude d’un véhicule................................................ — 5 3.3.1 Notation engin .................................................................................... — 5 3.3.2 Notations avion-bateau...................................................................... — 6 Références bibliographiques ......................................................................... — 6 L