Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 100 − 1 Analyse fonctionnelle Partie 1 par Gilles GODEFROY Directeur de recherches au Centre national de la recherche scientifique (CNRS) es notions présentées dans cet exposé, première partie d’un ensemble trai- tant de l’analyse fonctionnelle, concernent plus particulièrement : — les espaces normés de dimension finie ; ce sont ceux pour lesquels un cal- cul effectif, utilisant les coordonnées (en nombre fini !) des vecteurs est possible. Du point de vue de l’analyse fonctionnelle, ils sont caractérisés par le fait qu’ils contiennent des ensembles compacts d’intérieur non vide : dimension finie et compacité sont donc intimement liées ; — les espaces de Hilbert ; en particulier, l’espace de Hilbert séparable est le paradis des analystes. Il constitue un cadre naturel où se conjuguent des idées géométriques (orthogonalité, théorème de Pythagore…), algébriques (valeurs propres, théorie spectrale…) et analytiques (séries et transformation de Fourier) ; — les espaces de Banach non euclidiens ; par exemple, l’espace des fonctions continues ou celui des fonctions intégrables sur un segment ne sont pas des espaces de Hilbert. Il nous faut pourtant les considérer si nous voulons montrer l’existence de solutions d’équations différentielles, ou développer le calcul des probabilités. C’est donc dans la seconde partie ([AF 101]) que nous aborderons : — les espaces fonctionnels non normables ; — la transformation de Fourier ; — le calcul des probabilités. Les connaissances exigées pour aborder cette présentation de l’analyse fonc- tionnelle nécessitent d’être à l’aise avec les bases de la topologie. Ces bases sont présentées dans l’article [AF 99] « Topologie et mesure » de ce traité . 1. Espaces normés de dimension finie ................................................... AF 100 – 2 2. Espaces de Hilbert ................................................................................... — 3 2.1 Les bases...................................................................................................... — 3 2.2 Les opérateurs sur l’espace de Hilbert....................................................... — 5 2.3 Opérateurs normaux compacts. Applications aux séries de Fourier...... — 7 3. Espaces de Banach non euclidiens ..................................................... — 9 3.1 L’espace dual................................................................................................ — 9 3.2 Applications du lemme de Baire ................................................................ — 11 3.3 Théorèmes de point fixe ............................................................................. — 12 3.4 Algèbres de Banach..................................................................................... — 13 L