Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 210 − 1 Les bases d’ondelettes par Albert COHEN Université Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire d’analyse numérique, Paris pparues au début des années 1980, tout en prenant leur source dans des travaux plus anciens, les ondelettes s’imposent aujourd’hui comme des outils puissants en analyse mathématique et dans des domaines plus appliqués tels que le traitement du signal et de l’image, ou encore la simulation numérique. Cet article vise à introduire le lecteur à ces outils et à leur mise en œuvre pratique dans la perspective de ces applications. 1. Représentations en fréquence ............................................................. AF 210 - 2 1.1 Représenter les fonctions ........................................................................... — 2 1.2 Défauts des représentations en fréquence................................................ — 2 2. L’approche temps-fréquence ................................................................. — 3 2.1 L’analyse temps-fréquence ......................................................................... — 3 2.2 La transformée en ondelettes..................................................................... — 3 2.3 Les frames et les bases d’ondelettes ......................................................... — 4 3. Un exemple fondamental....................................................................... — 5 3.1 Le système de Haar ..................................................................................... — 5 3.2 L’algorithme de Haar ................................................................................... — 6 3.3 Intérêt des représentations en ondelettes................................................. — 7 3.4 Décomposition des images ........................................................................ — 8 4. Le cadre multirésolution........................................................................ — 9 4.1 Les analyses multirésolutions .................................................................... — 9 4.2 Les ondelettes orthonormales.................................................................... — 10 4.3 Les ondelettes biorthogonales ................................................................... — 11 4.4 La transformée en ondelette rapide........................................................... — 12 5. Les ondelettes généralisées.................................................................. — 13 5.1 Ondelettes et éléments finis ....................................................................... — 13 5.2 Les analyses multirésolutions discrètes.................................................... — 14 6. Ondelettes et adaptativité..................................................................... — 15 6.1 L’approximation non-linéaire...................................................................... — 15 6.2 Du traitement d’images à la simulation numérique................................. — 16 Références bibliographiques ......................................................................... — 18 A