Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales AF 143 − 1 Intégrales de Fourier par Hervé QUEFFÉLEC Professeur de mathématiques à l’’Université de Lille a transformation de Fourier sur la droite réelle est l’analogue de la trans- formation de Fourier des fonctions périodiques localement intégrables, où les exponentielles : sont remplacées par la famille continue des exponentielles : , 1. Transformée de Fourier d’une fonction intégrable ........................ AF 143 - 2 1.1 Classes de fonctions intégrables................................................................ — 2 1.2 Convolution de deux fonctions intégrables .............................................. — 3 1.3 Transformée de Fourier. Lemme de Riemann-Lebesgue ......................... — 4 1.4 Règles de calcul ........................................................................................... — 6 2. Formule d’inversion de Fourier............................................................ — 7 2.1 Approximations de l’identité ...................................................................... — 7 2.2 Théorème d’inversion de Fourier............................................................... — 8 2.3 Cas où f est bornée et positive............................................................... — 9 3. Techniques de calcul............................................................................... — 9 3.1 Cas des fonctions paires ou impaires........................................................ — 9 3.2 Calcul direct : fonction exponentielle négative......................................... — 10 3.3 Calcul par inversion de Fourier : noyau de Poisson ................................. — 10 3.4 Calcul résiduel ou variationnel................................................................... — 11 4. Cas des fonctions de carré intégrable............................................... — 12 4.1 Théorème de Plancherel ............................................................................. — 12 4.2 Fonctions de classe C 1 à support compact............................................... — 14 4.3 Bases orthonormales de et fonctions d’Hermite........................... — 14 5. Espace de Schwartz ................................................................................ — 15 5.1 Fonctions régulières et rapidement décroissantes sur ; espace .... — 15 5.2 Transformée de Fourier d’une fonction régulière..................................... — 16 5.3 Transformée de Fourier d’une fonction rapidement décroissante.......... — 16 5.4 Théorème d’isomorphisme ........................................................................ — 16 6. Équation de la chaleur pour une barre infinie ................................. — 17 6.1 Modélisation du problème.......................................................................... — 17 6.2 Utilisation de la transformée de Fourier.................................................... — 18 6.3 Contre-exemple pour l’unicité.................................................................... — 18 6.4 Existence et unicité de solutions bornées ................................................. — 19 7. Applications diverses. Prolongements.............................................. — 20 7.1 Extension de la transformation de Fourier au champ complexe ............ — 20 7.2 Équation aux dérivées partielles elliptiques.............................................. — 23 7.3 Présentation des ondelettes ....................................................................... — 23 Références bibliographiques ........................................................................ — 24 fˆ L2 � ( ) � � L � en t( ) int ( ) exp = n entier ( ) ex t( ) ixt ( ) exp = x réel ( )