Probl`emes de Math´ematiques Entiers alg´ebriques. Loi de r´eciprocit´e quadratique. ´Enonc´e Entiers alg´ebriques. Loi de r´eciprocit´e quadratique. E.N.S Ulm et Lyon 2001 Avertissement La partie 1 n’est utilis´ee que dans la partie 6. Les parties 4 et 5 sont mutuellement ind´ependantes ainsi qu’essentiellement du reste du probl`eme : seules les formules obtenues dans les questions 4.5 et 5.6 sont utilis´ees dans la partie 6. Notations Soit ζ un nombre complexe. On note Q[ζ] le Q-espace vectoriel engendr´e par {ζn ;;; n ∈ N} : c’est une Q-alg`ebre. On note Z[ζ] le sous-groupe additif de Q[ζ] engendr´e par {ζn ;;; n ∈ N} . Un sous-corps de C qui est de dimension finie en tant que Q-espace vectoriel est appel´e corps de nombre. Soient n , k deux entiers. Si ζ est une racine n e de l’unit´e, le complexe ζk ne d´epend que de la classe x de k dans Z/nZ et sera not´e ζx. Dans le cas particulier o`u ζ = e 2iπ n on notera τn la somme τn = � x∈Z/nZ ζx2. 1. Pr´eliminaires Soit p un nombre premier impair et y ∈ (Z/pZ)∗. On dit que y est un carr´e s’il existe z ∈ (Z/pZ)∗ tel que y = z2. 1.1. Montrer l’´egalit´e � x∈(Z/pZ)∗ x = � −y p−1 2 si y est un carr´e, y p−1 2 sinon. [ S ] [Indication : regrouper deux `a deux dans le produit les termes x , y x , x ∈ (Z/pZ)∗]. 1.2. En d´eduire les ´egalit´es y p−1 2 = � 1 si y est un carr´e −1 sinon [ S ] 2. G´en´eralit´es 2.1. Montrer que les deux propositions suivantes sont ´equivalentes : (i) Il existe un polynˆome unitaire `a coefficients rationnels annulant ζ ; (ii) La Q-alg`ebre Q[ζ] est un corps de nombres. [ S ] Soit V un Q-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de V . Si v1 , · · · , vn sont des ´el´ements de V , on note Zv1 + · · · + Zvn l’ensemble des combinaisons lin´eaires `a coefficients entiers des vi , i ∈ [[ 1 , n ]] . 2.2. Montrer que les deux propositions suivantes sont ´equivalentes : (i) Il existe un polynˆome unitaire `a coefficients entiers annulant f ; Page 1/14 Michel Lepez www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.