Exercices de Math´ematiques D´eterminants d’ordre n (VI) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Montrer qu’un d´eterminant antisym´etrique d’ordre impair est nul. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit A ∈ Mn(R), les coefficients diagonaux ´etant nuls, et les autres valant ±1. On suppose que n est pair. Montrer que A est inversible. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit A une matrice carr´ee d’ordre n, nilpotente. Montrer que det(I + A) = 1. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient A et B deux matrices de types respectifs (n, p) et (p, n), avec n ̸= p. Montrer que l’un au moins des d´eterminants det(AB) ou det(BA) est nul. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit A ∈ Mn(Z). Montrer que A−1 existe dans Mn(Z) ⇔ det A = ±1. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.