Probl`emes de Math´ematiques Matrices et d´eterminants d´ependant d’un param`etre ´Enonc´e Matrices et d´eterminants d´ependant d’un param`etre Soit n ∈ N∗. Soit An = (aij) ∈ Mn(C) d´efinie par � � � aij = −1 si j < i aij = 0 si j = i aij = 1 si j > i . Donc An = � � � � � � 0 1 . . . 1 −1 ... ... ... ... ... ... 1 −1 . . . −1 0 � � � � � � On note In la matrice identit´e d’ordre n. Pour tout α de C, on pose Mn(α) = An + αIn et Dn(α) = det Mn(α). On note fα l’endomorphisme de Cn de matrice Mn(α) dans la base canonique. Les parties I et II sont totalement ind´ependantes, et devront ˆetre trait´ees comme telles. Premi`ere Partie On note u = (x1, . . . , xn) un vecteur quelconque de Cn. Pour tout k de {1, . . . , n}, on pose θk = (2k − 1)π 2n , ωk = exp(2iθk) et αk = −i cotanθk. 1. Montrer que l’´egalit´e fα(u) =−→0 ´equivaut au syst`eme � (α−1)xk = (α+1)xk−1 si 2 ≤ k ≤ n x1 + · · · + xn−1 = αxn V´erifier que f1 est un automorphisme de Cn. 2. Pour tout α distinct de 1, on pose qα = α + 1 α − 1. (a) Montrer que si qn α ̸= −1, alors fα est un automorphisme de Cn. (b) V´erifier que qn α = −1 ⇔ α ∈ {α1, α2, . . . , αn}. (c) Dans cette question, on suppose que α = αk, avec 1 ≤ k ≤ n. Montrer que ker fαk est la droite engendr´ee par uk = (1, ωk, ω2 k, . . . , ωn−1 k ). (d) Pr´eciser le rang de l’application fα, suivant les valeurs de α. 3. On reprend ici les notations de la question pr´ec´edente, et α est quelconque dans C. (a) Montrer que les vecteurs u1, u2, . . . , un forment une base de Cn. (b) Pr´eciser la matrice de fα dans cette base. (c) En d´eduire que le d´eterminant de fα est ´egal `a (α − 1)n + (α + 1)n 2 . Deuxi`eme Partie Dans cette partie, on voit deux m´ethodes distinctes de calcul de Dn(α). 1. (a) Calculer D1(α) et D2(α). Montrer que si n ≥ 3, alors Dn(α) − 2αDn−1(α) + (α2 − 1)Dn−2(α) = 0. (b) En d´eduire l’expression de Dn(α) pour tout n de N et tout α de C. 2. Pour tout n ≥ 1, on note Jn la matrice de Mn(C) dont tous les coefficients valent 1. Pour tous complexes α et x, on pose ∆n(α, x) = det(Mn(α) + xJn). (a) Montrer que x �→ det(Mn(α) + xJn) est une fonction affine de la variable x. (b) Retrouver l’expression de Dn(α) pour tout n de N et tout α de C. 3. (a) Montrer que si Dn(α) = 0 alors Dn−1(α) ̸= 0. (b) En d´eduire le rang de la matrice Mn(α) quand elle n’est pas inversible. 4. Dans cette question, on fixe n ≥ 1, et on d´efinit les θk et les αk comme au d´ebut de la partie I. Montrer que les solutions de Dn(α) = 0 sont les αk = −i cotanθk, avec 1 ≤ k ≤ n. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.