Probl`emes de Math´ematiques Un syst`eme tridiagonal sym´etrique ´Enonc´e Un syst`eme tridiagonal sym´etrique Pour tout n ≥ 1, on note An la matrice carr´ee d’ordre n de terme g´en´eral aij = � 1 si ;;;j − i;;; = 1 0 sinon Ainsi A1 = (0), A2 = � 0 1 1 0 � , A3 = � � � 0 1 0 1 0 1 0 1 0 � � �. Pour tout x de R, Pn(x) = det(An + xIn) pour n ≥ 1. Par convention, on pose P0(x) = 1. Aini P1(x) = ;;; x ;;; = x, P2(x) = ���� x 1 1 x ����, P3(x) = ������ x 1 0 1 x 1 0 1 x ������ , P4(x) = �������� x 1 0 0 1 x 1 0 0 1 x 1 0 0 1 x �������� 1. Montrer que pour tout x de R, et tout n ≥ 2, on a Pn(x) − xPn−1(x) + Pn−2(x) = 0. [ S ] 2. Montrer que pour tout n de N, l’application Pn est une fonction polynomiale unitaire de degr´e n, et qu’elle a la mˆeme parit´e que n. [ S ] 3. On fixe dans R la valeur de x, et on pose un = Pn(x) pour tout n de N. (a) Montrer que si x = 2ε (o`u ε = ± 1) un = (n + 1)εn. [ S ] (b) Montrer que si x n’est pas dans {−2, 2}, alors un = αn+1 − βn+1 α − β , en notant α et β les racines distinctes de l’´equation λ2 − xλ + 1 = 0. [ S ] (c) On suppose ;;;x;;; < 2. Avec θ = arccos x 2, montrer que ∀ n ∈ N, Pn(x) = sin(n + 1)θ sin θ . [ S ] 4. Calculer In,m = � 2 −2 √ 4 − x2 Pn(x) Pm(x) dx, pour tous n, m dans N. [ S ] 5. (a) Montrer que pour tout n ≥ 1, le polynˆome Pn poss`ede n z´eros distincts, tous r´eels, et donn´es par : ∀ k ∈ {1, . . . , n}, an,k = 2 cos θn,k, avec θn,k = kπ n + 1. [ S ] (b) Montrer alors que Pn−1(an,k) = (−1)k+1. [ S ] 6. On se donne un r´eel λ et on consid`ere le syst`eme (Sn,λ) d´efini par � � � � � � � � � � � � � λx1 + x2 = 0 x1 + λx2 + x3 = 0 . . . xn−2 + λxn−1 + xn = 0 xn−1 + λxn = 0 (a) R´esoudre (Sn,λ) quand λ /∈ {an,1, . . . , an,n}. [ S ] (b) On suppose que λ = an,k = 2 cos θn,k. Montrer alors que le syst`eme est de rang n − 1, et que l’ensemble des solutions est la droite engendr´ee par vn = (sin θk, − sin 2θk, . . . , (−1)n−1 sin nθk). [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.