Probl`emes de Math´ematiques D´eterminants de Hankel ´Enonc´e D´eterminants de Hankel Comme d’habitude, IK d´esigne IR ou lC. Soit (un) une suite de IK. Pour tous entiers n et p, on note : M(n, p) = � � � � un un+1 . . . un+p un+1 un+2 . . . un+p+1 ... ... ... ... un+p un+p+1 . . . un+2p � � � � M(n, p) appartient donc `a Mp+1(IK). Par exemple, pour tout n de IN, M(n, 0) = ( un ), M(n, 1) = � un un+1 un+1 un+2 � , M(n, 2) = � � un un+1 un+2 un+1 un+2 un+3 un+2 un+3 un+4 � � On note ∆(n, p) = det M(n, p). Pour tout entier p ≥ 0, on note Sp l’ensemble des suites (un) de IK telles que le d´eterminant ∆(n, p) soit nul pour tout entier n. L’objet de ce probl`eme est d’´etudier les suites (un) de Sp. Partie I Soit A une matrice carr´ee d’ordre n `a coefficients dans IK, avec n ≥ 2. On note Com A la comatrice de A. 1. Rappeler la valeur du produit (TCom A)A. [ S ] 2. Montrer successivement que : (a) Si rg A = n, alors rg Com A = n. [ S ] (b) Si rg A = n − 1, alors rg Com A = 1 (utiliser des applications lin´eaires.) [ S ] (c) Si rg A ≤ n − 2, alors rg Com A = 0. [ S ] 3. Si on note Aij le cofacteur d’indice (i, j) de la matrice A, montrer que : det A = 0 ⇒ ∀(i, j, k, l) ∈ {1, . . . , n}4, AikAjl − AilAjk = 0. [ S ] Partie II 1. Identifier S0. [ S ] 2. Montrer que S1 est l’ensemble des suites g´eom´etriques. [ S ] 3. On suppose qu’il existe p + 1 scalaires non tous nuls a0, a1, . . . , ap tels que, pour tout entier n, a0un + a1un+1 + · · · + apun+p = 0. Montrer alors que la suite (un) est ´el´ement de Sp. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.