Exercices de Math´ematiques Structure de groupe (IV) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Montrer qu’un groupe fini d’ordre premier est cyclique. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Montrer qu’un groupe G dans lequel tout x v´erifie x2 = e est commutatif. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Montrer qu’un groupe G dans lequel on a toujours (xy)2 = x2y2 est commutatif. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit G un ensemble muni d’une loi associative (not´ee multiplicativement) telle que : � Il existe un ´el´ement e de E tel que pour tout x, xe = x Pour tout x de E, il existe un ´el´ement x′ tel que xx′ = e. Montrer que G est un groupe. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit G un groupe fini dans lequel tout ´el´ement v´erifie x2 = e. 1. Montrer que le groupe G est ab´elien 2. On fixe un ´el´ement a de G, distinct du neutre e. Pour tout x de G, on note x = {x, ax}. On d´efinit ensuite une relation R sur G en posant xRy ⇔ y ∈ x. Montrer que R est une relation d’´equivalence. 3. On note H l’ensemble des diff´erentes classes d’´equivalences x, quand x parcourt G. Quel est le cardinal de H ? 4. Montrer qu’on d´efinit une loi de groupe sur H en posant x ⋆ y = xy. V´erifier que H satisfait `a la mˆeme hypoth`ese que le groupe G. 5. Montrer que le cardinal de G est une puissance de 2. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.