Exercices de Math´ematiques Structure de groupe (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit G un groupe. Pour tout a de G on pose ϕa(x) = axa−1. Montrer que l’application a �→ ϕa est un morphisme de groupe de G dans le groupe des automorphismes de G. Quel en est le noyau ? Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit G un groupe fini d’ordre n. Soit k un entier premier avec n. Montrer que l’application x → xk est une bijection de G sur lui-mˆeme. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que tout groupe d’ordre 4 est commutatif. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] La table suivante d´efinit-elle un groupe ? ⋆ e x y z t e e x y z t x x e t y z y y z e t x z z t x e y t t y z x e Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soient a et b deux ´el´ements d’un groupe G v´erifiant : a5 = e et ab = ba3. Montrer que a2b = ba et que ab3 = b3a2. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit G un groupe. On suppose qu’il existe un entier naturel k tel que : ∀ i ∈ {k, k + 1, k + 2}, ∀ a, b ∈ G, (ab)i = aibi. Montrer que G est un groupe ab´elien. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.