Exercices de Math´ematiques Structure de groupe (III) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble non vide muni d’une loi multiplicative telle que : ∀ a, b, c : a2 = b2, ab2 = a, a2(bc) = cb, (ac)(bc) = ab. Montrer que E est un groupe pour la loi ⋆ d´efinie par : a ⋆ b = a(b2b). Enoncer et prouver une r´eciproque. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] On d´efinit la loi ⋆ sur IR en posant : x ⋆ y = x + y − xy. 1. Etudier la loi ⋆. (IR, ⋆) est-il un groupe ? 2. Montrer que (IR − {1}, ⋆) est un groupe ab´elien isomorphe `a (IR∗, ×). 3. Pour tout x de IR et tout n de IN, calculer x(n) = x ⋆ x ⋆ · · · ⋆ x (n fois). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que ] − 1, 1[, muni de la loi x ⋆ y = x + y 1 + xy, est un groupe ab´elien. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit G un groupe. On suppose que x �→ xn est un morphisme de G (avec n ∈ IN). Montrer que pour tout x de G, xn−1 commute avec tous les ´el´ements de G. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soient a et b deux ´el´ements d’un groupe G v´erifiant : b6 = e, ab = b4a. Montrer que b3 = e et que ab = ba. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.