Exercices de Math´ematiques Ensembles ZZ/nZZ ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Dans ZZ, on d´efinit la loi T par x T y = αx + βy (α, β ∈ ZZ∗). 1. Montrer que l’application ϕ : (x, y) → x T y est un morphisme de (ZZ2, +) dans (ZZ, +). 2. Quel en est le noyau ? 3. On se donne un entier n strictement positif. Montrer qu’on d´efinit une loi sur ZZ/nZZ en posant : x ⋆ y = x T y. 4. Montrer ⋆ est associative ⇔ n divise α(α − 1) et β(β − 1). 5. Montrer que ⋆ est commutative ⇔ n divise α − β. 6. Montrer qu’il existe un neutre ⇔ n divise α − 1 et β − 1. 7. En d´eduire `a quelle condition (ZZ/nZZ, ⋆) est un groupe commutatif. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] On se donne un entier premier p strictement sup´erieur `a 2. 1. Dans l’anneau ZZ/pZZ, quels sont les ´el´ements qui sont leur propre inverse ? 2. En d´eduire que p divise (p − 1)! + 1. 3. ´Etablir la r´eciproque. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] R´esoudre l’´equation x2 + 2x = 3 dans ZZ/97ZZ puis dans ZZ/91ZZ. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] On munit IK = (ZZ/5ZZ)2 des lois : � (a, b) + (a′, b′) = (a + a′, b + b′) (a, b) ⋆ (a′, b′) = (aa′ + 2bb′, ab′ + ba′) Montrer que IK est un corps. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.