Exercices de Math´ematiques Structure de groupe (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient x, y deux ´el´ements d’un groupe G tels que : (xy)−1 = x−1y et (yx)−1 = y−1x. Montrer que (x2)−1 = y2 et x4 = y4 = e. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit G un groupe. Montrer que l’application x �→ x−1 est un morphisme ⇔ la loi de G est commutative. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit (G, ⋆) un groupe ab´elien (on note e le neutre et a′ le sym´etrique de a). Soit α un ´el´ement de G, diff´erent de e. On d´efinit une loi T en posant : ∀ a, b ∈ G, aT b = a ⋆ b ⋆ α. Montrer que (G, T ) est un groupe ab´elien. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que IR, muni de la loi x ⋆ y = (x3 + y3)1/3 est un groupe. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit G un ensemble non vide muni d’une loi associative (not´ee multiplicativement) telle que : ∀ (a, b) ∈ G 2, ∃ (x, y) ∈ G 2, b = ax = ya. Montrer que G est un groupe. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit G un ensemble fini non vide muni d’une loi ⋆ associative. On suppose que tout ´el´ement de G est r´egulier (simplifiable). Montrer que G est un groupe. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.