Exercices de Math´ematiques Sous-groupes ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit G un groupe et H une partie non vide de G, finie et stable. Montrer que H est un sous-groupe de G. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere les applications de IR − {0, 1} dans lui-mˆeme, d´efinies par : � � � � � f1(x) = x f2(x) = 1 1 − x f3(x) = x − 1 x f4(x) = 1 x f5(x) = 1 − x f6(x) = x x − 1 1. Montrer que ces six applications forment un groupe G pour la loi ◦. 2. Quels sont les sous-groupes de G ? Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que H ∪ K est un sous-groupe de G ⇔ H ⊂ K ou K ⊂ H. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G. On note HK = {hk, h ∈ H, k ∈ K} et pareillement KH = {kh, k ∈ K, h ∈ H}. Montrer que HK est un sous-groupe de G ⇔ HK = KH. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit (Hi)i∈I une famille non vide de sous-groupes d’un groupe G. On suppose que pour tous indices i et j il existe un indice k tel que Hi ∪ Hj ⊂ Hk. Montrer que H = � Hi est un sous-groupe de G. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit G un groupe fini d’ordre 2n, avec n ≥ 2. On suppose qu’il existe deux sous-groupes H et K d’ordre n, tels que H ∩ K = {e}. Montrer que n = 2 et donner la table du groupe G. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.