Exercices de Math´ematiques Anneaux, sous-anneaux (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Montrer qu’un anneau int`egre et fini est un corps. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit x un ´el´ement nilpotent d’un anneau A. Montrer que 1 − x est inversible et donner son inverse en fonction de x. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit A = {a + b √ 2, a ∈ ZZ, b ∈ ZZ}. 1. Montrer que A est un sous-anneau int`egre de IR. Pour tout x = a + b √ 2 de A, on pose N(x) = a2 − 2b2. 2. Montrer que pour tous x, y de A, N(xy) = N(x)N(y). 3. En d´eduire que x est inversible dans A ⇔ N(x) = ±1. 4. Montrer que les ´el´ements ±(1 + √ 2)n de A sont inversibles. 5. R´eciproquement, on veut montrer que tout inversible x de A est de la forme pr´ec´edente (a) Montrer qu’on peut se ramener `a supposer x = a + b √ 2, avec a ∈ IN∗ et b ∈ IN. (b) Montrer alors que x est de la forme (1 + √ 2)n avec n ∈ IN et conclure. Indication : si b ≥ 1, consid´erer x1 = x 1 + √ 2. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.