Exercices de Math´ematiques Arithm´etique dans ZZ (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] 1. Trouver l’exposant dans la d´ecomposition de 1000! en produits de facteurs premiers. 2. G´en´eraliser avec l’exposant d’un entier premier p dans la d´ecomposition de n!. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient m et n deux entiers naturels, avec m < n, et tels que mn = nm. Montrer que n´ecessairement m = 2 et n = 4. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Trouver tous les entiers 0 ≤ n ≤ m tels que : � pgcd (m, n) = m − n ppcm (m, n) = 300 Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que pour tous entiers m et n : m2 + n2 est divisible par 7 ⇔ m et n sont divisibles par 7. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Quel est le plus petit entier naturel admettant exactement 15 diviseurs positifs ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.