Exercices de Math´ematiques Lois de composition (III) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble muni d’une loi de composition ⋆, associative et commutative. On suppose de plus que pour tout x de E, x ⋆ x = x. 1. Donner des exemples d’une telle situation. 2. Montrer que xRy ⇔ x ⋆ y = y d´efinit une relation d’ordre sur E. 3. Montrer alors que pour tous ´el´ements x, y de E, sup{x, y} = x ⋆ y. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble fini muni d’une loi associative, not´ee multiplicativement. Montrer que pour tout a de E, il existe un entier m tel que x = am soit idempotent (x2 = x). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit (E, ≤) un ensemble ordonn´e muni d’une loi ⋆ telle que : ∀ (a, b, x) ∈ E 3, � a ⋆ b ≤ a, a ⋆ b ≤ b (x ≤ a) et (x ≤ b) ⇒ x ≤ a ⋆ b 1. Montrer que la loi ⋆ est commutative. 2. Prouver que pour tout a de E, a ⋆ a = a. 3. V´erifier que � a ≤ b ⇒ a ⋆ c ≤ b ⋆ c (a ≤ b) et (c ≤ d) ⇒ a ⋆ c ≤ b ⋆ d 4. Montrer que la loi ⋆ est associative. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble muni d’une loi ⋆ associative. Pour tout a de E, on d´efinit les applications ga et da de E dans E : ∀ x ∈ E, da(x) = x ⋆ a et ga(x) = a ⋆ x. 1. Montrer que s’il existe a dans E tel que ga et da soient surjectives, alors E poss`ede un ´el´ement neutre pour la loi ⋆. 2. Montrer que si pour tout a de E les applications ga et da sont surjectives, alors tout ´el´ement de E poss`ede un inverse pour la loi ⋆. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.