Exercices de Math´ematiques Lois de composition (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble muni de deux lois ⋆ et • On suppose que e est neutre pour la loi ⋆ et que f est neutre pour la loi • On suppose enfin que : ∀ (x, y, u, v) ∈ E 4, (x ⋆ y) • (u ⋆ v) = (x • u) ⋆ (y • v) 1. Montrer que e = f. 2. Prouver que les lois ⋆ et • sont identiques. 3. Montrer que cette loi est commutative et associative. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Sur IR on d´efinit la loi ⋆ par : x ⋆ y = kxy + k′(x + y), o`u k et k′ sont deux r´eels. A quelle condition sur k et k′ cette loi est-elle associative ? Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Etudier la loi ⋆, d´efinie sur P(E) par � Si A ∩ B = ∅, alors A ⋆ B = A ∪ B Si A ∩ B ̸= ∅, alors A ⋆ B = E Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Etudier la loi ⋆ d´efinie sur P(E) par : A ⋆ B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B). Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble fini muni d’une loi de composition associative not´ee ⋆ On suppose ´egalement que E poss`ede un neutre e pour la loi ⋆ 1. Montrer que si un ´el´ement a de E est r´egulier (simplifiable) alors il est inversible. 2. V´erifier sur un exemple que ce n’est plus vrai si on ne suppose pas que E est fini. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.