Cours de Math´ematiques Groupes, anneaux, corps, arithm´etique Sommaire Groupes, anneaux, corps, arithm´etique Sommaire I Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.2 Partie stable pour une loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Commutativit´e et associativit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.5 Distributivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.6 El´ement neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.7 Structure de mono¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.8 Sym´etrique d’un ´el´ement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.9 El´ements simplifiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.10 Propri´et´es transport´ees par un morphisme surjectif . . . . . . . . . . . 9 II Groupes, sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.1 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.3 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.4 Sous-groupe engendr´e par un ´el´ement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II.5 Groupes monog`enes, groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 III Le groupe sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III.1 Le groupe sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III.2 Cycles et transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III.3 D´ecompositions d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.4 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IV Anneaux, sous-anneaux, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 IV.1 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 IV.2 Calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 IV.3 El´ements remarquables dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 IV.4 Sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 IV.5 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 V Arithm´etique ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 V.1 Bases de num´eration dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.