Probl`emes de Math´ematiques Fonctions arithm´etiques multiplicatives ´Enonc´e Fonctions arithm´etiques multiplicatives Notations – Dans ce probl`eme, le mot « entier » (sans pr´ecision suppl´ementaire) d´esigne les ´el´ements de N∗. On note respectivement m ∧ n et m ∨ n le pgcd et le ppcm de deux entiers m et n. – On appelle fonction arithm´etique toute application f de N∗ dans C. On dit que f est multiplicative si f(1) = 1 et si m ∧ n = 1 ⇒ f(mn) = f(m)f(n). L’objet de ce probl`eme est d’´etudier quelques fonctions arithm´etiques multiplicatives classiques. – On note P l’ensemble des entiers premiers. Pour tout entier n, on d´esigne par Dn l’ensemble des entiers qui divisent n. On note alors Pn l’ensemble des diviseurs premiers de n. Ainsi Pn = P ∩ Dn. – Pour tout p de P et tout entier n, on note vp(n) = max{k ∈ N, pk ;;; n}. On dit que vp(n) est la valuation de n pour l’entier premier p. Il est clair que p ∈ Pn ⇔ vp(n) ≥ 1. L’entier vp(n) repr´esente l’exposant de p dans la d´ecomposition de n en facteurs premiers. Exemple : si n = 56 = 237 alors v2(n) = 3, v7(n) = 1 et ∀ p ∈ P \ {2, 7}, vp(n) = 0. I. G´en´eralit´es On se propose d’´etablir ici quelques r´esultats arithm´etiques portant ou non sur les fonctions arithm´etiques, et qui s’av`ereront utiles dans la suite du probl`eme. 1. On se donne deux entiers m et n quelconques. (a) Justifier rapidement les ´egalit´es Dm ∩ Dn = Dm∧n et Pm ∩ Pn = Pm∧n. [ S ] (b) Prouver l’´egalit´e Pm ∪ Pn = Pm∨n. [ S ] (c) Que dire de Pm et Pn si m, n sont premiers entre eux ? [ S ] 2. Soient a, b, c trois entiers tels que a ∧ b = 1. On veut prouver que � a ∧ (bc) = a ∧ c (ab) ∧ c = (a ∧ c)(b ∧ c) Pour cela, on demande deux m´ethodes distinctes : (a) Poser d = a ∧ c, et consid´erer les entiers a′, b′ tels que a = da′ et c = dc′. [ S ] (b) Utiliser les valuations vp(a), vp(b), vp(c) pour tout p de P. [ S ] 3. On se donne deux entiers m et n premiers entre eux. On consid`ere l’application ψ d´efinie de Dm × Dn dans Dmn par ψ(d, δ) = d δ. De mˆeme, soit ξ l’application de Dmn dans Dm × Dn d´efinie par ξ(q) = (m ∧ q, n ∧ q). Montrer que ψ et ξ sont deux bijections r´eciproques l’une de l’autre. [ S ] 4. Dans cette question, on se donne une fonction multiplicative f. (a) Si m1, . . . , mq sont premiers entre eux deux `a deux montrer que f � q� j=1 mj � = q� j=1 f(mj). [ S ] (b) Montrer que f est caract´eris´ee par les f(pk), o`u (p, k) ∈ P×N∗. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.