Probl`emes de Math´ematiques Anneaux Z[w]. Anneaux int`egres et factoriels ´Enonc´e Anneaux Z[w]. Anneaux int`egres et factoriels Premi`ere partie : les anneaux Z[ω] Dans cette partie, α est un entier relatif qui n’est le carr´e d’aucun ´el´ement de Z. – Si α > 0, on pose ω = √α (c’est un r´eel strictement positif et irrationnel.) – Si α < 0, on pose ω = i√−α (c’est un nombre complexe non r´eel, d’argument π 2.) On a donc ω2 = α. On pose Q[ω] = {a + bω, (a, b) ∈ Q2}. Ainsi � � � Si α = −1, Q[i] = {a + bi, (a, b) ∈ Q2}. Si α = 2, Q[ √ 2] = {a + b √ 2, (a, b) ∈ Q2}. Si α = −2, Q[i √ 2] = {a + ib √ 2, (a, b) ∈ Q2}. 1. (a) Soit z = a + bω dans Q[ω] avec (a, b) ∈ Q2. Montrer que l’´ecriture de z sous cette forme est unique. On pose alors N(z) = (a + bω)(a − bω) = a2 − αb2, qui est ´el´ement de Q. Montrer que N(z) = 0 ⇔ z = 0. [ S ] (b) Montrer que Q[ω] est muni d’une structure de corps. [ S ] 2. (a) Soit z = a + bω dans Q[ω] avec (a, b) ∈ Q2. On pose z⋆ = a − bω. Montrer que z �→ z⋆ est un automorphisme du corps Q[ω]. [ S ] (b) Soient z, z′ dans Q[ω]. Montrer que N(zz′) = N(z)N(z′). [ S ] 3. On pose Z[ω] = {a + bω, (a, b) ∈ Z2}. L’ensemble Z[ω] est donc une partie de Q[ω]. Pour tout z = a + bω de Z[ω], avec (a, b) ∈ Z2, on a donc � z⋆ = a − bω ∈ Z[ω] N(z) = zz⋆ = a2 − αb2 ∈ Z (a) Montrer que Z[ω] est un anneau int`egre. [ S ] (b) Montrer que z est inversible dans Z[ω] si et seulement si N(z) = ε avec ε = ±1. Montrer qu’alors l’inverse de z dans Z[ω] est z−1 = εz⋆. [ S ] 4. Montrer que les ´el´ements inversibles de l’anneau Z[i] sont 1, i, −1 et i. Quels sont ceux de Z[i√m] si m ≥ 2 (m entier non carr´e bien sˆur) ? [ S ] 5. Dans cette question, on cherche les ´el´ements inversibles de l’anneau Z[ √ 2]. (a) Soit ε dans {−1, 1} et m dans Z. On pose z = ε(1 + √ 2)m. Montrer que z est un ´el´ement inversible de Z[ √ 2], et que z−1 = ε(−1 + √ 2)m. [ S ] (b) R´eciproquement, Soit z = a + b √ 2 un ´el´ement inversible de Z[ √ 2]. Dans un premier temps, on suppose a ∈ N∗ et b ∈ N. i. V´erifier que si b = 0, alors z = 1. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.