Probl`emes de Math´ematiques Sous-groupes distingu´es ´Enonc´e Sous-groupes distingu´es Soit G un groupe, qui n’est pas suppos´e ab´elien. On note (a, b) �→ ab la loi de G. On note e le neutre de G, et a−1 le sym´etrique de tout ´el´ement a de G. Pour toute partie X non vide de G, et pour tous ´el´ements a, b de G, on pose : aX = {ax, x ∈ X} Xb = {xb, x ∈ X} aXb = a(Xb) = (aX)b = {axb, x ∈ X} Les propri´et´es suivantes sont ´evidentes et n’ont pas `a ˆetre d´emontr´ees : X ⊂ Y ⇒ � � � aX ⊂ aY Xb ⊂ Y b aXb ⊂ aY b � � � a(bX) = (ab)X (Xa) b = X(ab) a(bXc)d = (ab)X(cd) eX = Xe = X On rappelle que les automorphismes int´erieurs de G sont les applications ϕa d´efinies par : ∀ a ∈ G, ∀ x ∈ G, ϕa(x) = axa−1 Partie I. D´efinition des sous-groupes distingu´es 1. Soit H un sous-groupe de G. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : i) Pour tout a de G, aH ⊂ Ha ii) Pour tout a de G, Ha ⊂ aH iii) Pour tout a de G, aH = Ha On dit qu’un sous-groupe H de G est distingu´e s’il v´erifie ces conditions. [ S ] 2. Soit H un sous-groupe d’un groupe G. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : i) H est distingu´e dans G ii) ∀ a ∈ G, aHa−1 = H iii) ∀ a ∈ G, aHa−1 ⊂ H Exprimer cette propri´et´e avec la terminologie des automorphismes int´erieurs de G. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.