Probl`emes de Math´ematiques Groupes ordonn´es ´Enonc´e Groupes ordonn´es Soit G un groupe dont la loi est not´ee multiplicativement. Le neutre de G est not´e e. Le sym´etrique d’un ´el´ement x de G est not´e x−1. Pour toute partie P de G, et pour tout ´el´ement a de G, on note : PP = {hk, h ∈ P, k ∈ P}; P −1 = {h−1, h ∈ P}; a−1Pa = {a−1ha, h ∈ P} Le groupe G est dit ordonn´e s’il est muni d’une relation d’ordre ≤ qui v´erifie : ∀ a, b, c ∈ G, a ≤ b ⇒ (ac ≤ bc et ca ≤ cb) 1. On suppose que G est ordonn´e. On note P = {h ∈ G, e ≤ h}. Montrer successivement : (a) P ∩ P −1 = {e} (b) PP ⊂ P (c) ∀ a ∈ G, a−1Pa ⊂ P. (d) Si l’ordre d´efini par ≤ est total, P ∪ P −1 = G. 2. R´eciproquement, soit G un groupe contenant une partie P v´erifiant (a), (b), (c). On d´efinit une relation R sur G par : ∀ a, b ∈ G, a R b ⇔ ba−1 ∈ P (a) Montrer que muni de cette relation, G est un groupe ordonn´e. (b) Montrer que si P ∪ P −1 = G, alors l’ordre ainsi d´efini est total. 3. Soit G un groupe ordonn´e commutatif. On suppose que, pour tout (a, b) de G2, sup{a, b} existe dans G. Montrer successivement que : (a) ∀ a, b, c ∈ G, c · sup{a, b} = sup{ac, bc}. (b) ∀ a, b ∈ G, inf{a, b} existe. On prouvera que inf{a, b} = (sup{a−1, b−1})−1. (c) ∀ a, b, c ∈ G, c · inf{a, b} = inf{ac, bc}. (d) ∀ a, b ∈ G, inf{a, b} · sup{a, b} = ab. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.