Probl`emes de Math´ematiques D´erivations d’un anneau ´Enonc´e D´erivations d’un anneau Soit (A, +, .) un anneau (qui n’est pas suppos´e commutatif). On note 1 le neutre multiplicatif, et 0 le neutre additif. Une application δ : A → A est appel´ee une d´erivation si : ∀ a, b ∈ A, � δ(a + b) = δ(a) + δ(b) δ(ab) = aδ(b) + δ(a)b Premi`ere partie Soit δ une d´erivation de A. 1. Calculer δ(0) et δ(1). 2. a ´etant suppos´e inversible dans A, exprimer δ(a−1) en fonction de a−1 et de δ(a). 3. Soit Dδ = {a ∈ A, δ(a) = 0}. (a) Montrer que Dδ est un sous-anneau de A. (b) Montrer que si A est un corps, alors Dδ est un sous-corps de A. 4. Soient a1, a2, . . . , an des ´el´ements de A. Calculer δ(a1a2 · · · an) en fonction des ak et des δ(ak). 5. En d´eduire δ(an) pour tout a de A et tout n de IN∗. Que devient cette formule si A est commutatif ? 6. On pose δ0 = IdA, δ1 = δ, et ∀ n ≥ 1, δn = δ ◦ δn−1. Montrer par r´ecurrence que : ∀ a, b ∈ A, ∀ n ∈ IN, δn(ab) = n � p=0 C p n δp(a) δn−p(b) Deuxi`eme partie Dans cette partie, δ1, δ2, δ3 d´esignent des d´erivations quelconques de A. 1. δ1 + δ2 et δ1 ◦ δ2 sont-elles des d´erivations de A ? 2. On note [δ1, δ2] = δ1 ◦ δ2 − δ2 ◦ δ1. Montrer que [δ1, δ2] est une d´erivation de A. 3. Montrer que : [δ1, [δ2, δ3]] + [δ2, [δ3, δ1]] + [δ3, [δ1, δ2]] = 0A (application nulle de A). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.