Probl`emes de Math´ematiques Structure des groupes ab´eliens finis ´Enonc´e Structure des groupes ab´eliens finis Notations : – Pour tout n ≥ 1, on d´esigne par Un le groupe cyclique des racines n-i`emes de l’unit´e. – On note U le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1. – Dans ce probl`eme, G d´esigne un groupe ab´elien fini d’ordre ≥ 2. La loi de G est not´ee par juxtaposition : (a, b) �→ ab. On note e le neutre de G. – On appelle caract`ere de G tout morphisme de G dans U. On note � G l’ensemble des caract`eres de G. L’objet de ce probl`eme est de prouver le th´eor`eme de structure des groupes ab´eliens finis : Th´eor`eme Soit G un groupe ab´elien d’ordre ≥ 2. Il existe une unique suite d1, d2, . . . , dr d’entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 2, tels que : – Pour tout k de {1, . . . , r−1}, l’entier dk divise l’entier dk+1. – Le groupe G est isomorphe au groupe produit Ud1 × Ud2 × · · · × Udr. I. Prolongement d’un caract`ere d’un groupe ab´elien fini Soit H un sous-groupe strict de G. On se donne un ´el´ement ϕ de � H . On se propose de montrer que ϕ se prolonge en un caract`ere φ de G. Pour cela, on se donne un ´el´ement x de G \ H, et on note L le sous-groupe de G engendr´e par H et x, c’est-`a-dire le plus petit sous-groupe de G (pour l’inclusion) contenant `a la fois H et x. 1. Justifier l’existence de n = min{m ≥ 2, xm ∈ H} et de ω dans U tel que ωn = ϕ(xn). [ S ] 2. Montrer que tout y de L s’´ecrit de fa¸con unique y = xkz, avec 0 ≤ k < n et z ∈ H. [ S ] 3. Avec les notations pr´ec´edentes, on pose ψ(y) = ωkϕ(z). Montrer que ψ est un caract`ere de L, qui prolonge ϕ. [ S ] 4. Montrer finalement l’existence d’un caract`ere φ de G, qui prolonge ϕ. [ S ] II. Exposant d’un groupe ab´elien fini On rappelle que l’ordre d’un ´el´ement x de G est le plus petit entier m ≥ 1 tel que xm = e. On note ici q le ppcm des ordres des diff´erents ´el´ements de G. On dit que l’entier q est l’exposant du groupe G. On se propose ici de montrer qu’il existe dans G un ´el´ement d’ordre q. Pour cela, on note q = r� i=1 pαi i (les pi sont premiers distincts deux `a deux, les αi sont dans N∗.) 1. On se donne un entier j dans {1, . . . , r}. Montrer qu’il existe xj dans G dont l’ordre s’´ecrive mj p αj j , avec mj ∧ pj = 1. [ S ] 2. Avec les notations pr´ec´edentes, quel est l’ordre de yj = x mj j ? [ S ] 3. Conclure en consid´erant l’´el´ement x = y1y2 · · · yr. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.