Probl`emes de Math´ematiques Deux structures alg´ebriques ´Enonc´e Deux structures alg´ebriques Le probl`eme est constitu´e de deux parties ind´ependantes. Partie 1 Soit (E, ≤) un ensemble ordonn´e, muni d’une loi de composition ∗ telle que : ∀ x, a, b ∈ E, � (x ≤ a et x ≤ b) ⇒ x ≤ a ∗ b a ∗ b ≤ a et a ∗ b ≤ b 1. Montrer que la loi ∗ est commutative, associative, et que : ∀ a ∈ E, a ∗ a = a. 2. Montrer qu’un ´el´ement a est neutre pour ∗ si et seulement s’il est maximum pour ≤. 3. (E, ∗) peut-il ˆetre un groupe ? 4. Dans le cas g´en´eral, si le neutre de E existe, quels sont les ´el´ements inversibles de E ? 5. Donner un exemple de la situation d´ecrite dans l’´enonc´e : (a) o`u max(E) existe et o`u E n’est pas r´eduit `a un singleton. (b) o`u max(E) n’existe pas. Partie 2 Soit E un ensemble non vide muni d’une loi T v´erifiant : ∀ a, b, c ∈ E, � � � a T a = b T b (a T c) T (b T c) = a T b a T (a T b) = b (1) (2) (3) Pour simplifier l’´ecriture, on notera e l’´el´ement de E d´efini par : ∀ a ∈ E, a T a = e. On d´efinit ensuite une loi ∗ en posant : ∀ a, b ∈ E, a ∗ b = a T (e T b). 1. Montrer que e est neutre pour la loi ∗. 2. Montrer que tout ´el´ement a de E poss`ede un sym´etrique a′ pour la loi ∗. 3. Montrer successivment que, pour tous a, b, c de E : (a) (a T b)′ = b T a (b) a T (b T c) = (a T b) T c′ (c) (a T b) T c = a T (b T c′) (d) (a T b)′ = a′ T b′ (e) a ∗ b = a T b′. 4. En d´eduire que la loi ∗ est associative et commutative. Conclusion ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.