Exercices de Math´ematiques Diagonalisabilit´e ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient f et g deux endomorphismes de E, avec dim(E) = n ≥ 1. On suppose que f et g commutent et qu’ils sont diagonalisables. Montrer que f et g sont diagonalisables dans une mˆeme base (e) de E. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f un endomorphisme de E tel que (f − Id)3 ◦ (f + 2Id) = 0 et (f − Id)2 ◦ (f + 2Id) ̸= 0. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit A une matrice de M(K) telle que A3 = A2 + 4A − 4In. Montrer que A est diagonalisable. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] 1. Montrer que P → ϕ(P) = X(X − 1)P ′ − nXP d´efinit un endomorphisme ϕ de Kn[X]. 2. L’endomorphisme ϕ est-il diagonalisable ? 3. D´eterminer les sous-espaces propres de ϕ. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] On se donne une famille λ1, . . . , λn de n nombres complexes. Dans Mn( C), on d´efinit la matrice A de terme g´en´eral aij = λiλj. La matrice A est-elle diagonalisable ? Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Pour tous A = � a b c d � de M2(K) et M de Mn(K), on pose A ⊗ M = � aM bM cM dM � . 1. Montrer que (A ⊗ M)(B ⊗ N) = (AB) ⊗ (MN). 2. Etablir que det(A ⊗ M) = (det A)n(det M)2. 3. Montrer que : A, M inversibles ⇒ A ⊗ M inversible et (A ⊗ M)−1 = A−1 ⊗ M −1. 4. Prouver que si A et M sont diagonalisables, alors A ⊗ M est diagonalisable. Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ] Soit A une matrice de Mn( C), inversible et diagonalisable. Soit B une matrice de Mn( C), telle que B2 = A. Montrer que B est diagonalisable. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.