Exercices de Math´ematiques Valeurs et vecteurs propres ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient f et g deux endomorphismes d’un C-espace vectoriel E de dimension n ≥ 1. On suppose que f et g commutent. Montrer que f et g ont au moins un vecteur propre en commun. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Vecteurs propres de l’endomorphisme f de R[X] d´efini par f(P) = (2X + 1)P + (1 − X2)P ′. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit E l’espace des fonctions continues de R+ dans R. Soit T d´efinie sur E par T(f)(0) = f(0) et, pour x > 0, T(f)(x) = 1 x � x 0 f(t)dt. 1. Montrer que T est un endomorphisme de E. 2. D´eterminer le noyau de T. L’op´erateur T est-il injectif ? surjectif ? 3. Indiquer ses valeurs propres non nulles et les sous-espaces propres associ´es. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E de dimension n ≥ 1. Montrer que g ◦ f et f ◦ g ont les mˆemes valeurs propres. Indication : consid´erer `a part le cas de la valeur propre 0. Donner un contre-exemple dans le cas o`u E n’est pas de dimension finie. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soient A et B dans deux matrices de Mn(K). Montrer que AB et BA ont le mˆeme polynˆome caract´eristique. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit M une matrice de Mn(K), ayant n valeurs propres distinctes. Montrer que les matrices qui commutent avec M sont les combinaisons lin´eaires de In, M, M 2, . . . , M n−1. Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ] Soit M une matrice de Mn(K), inversible. Exprimer le polynˆome caract´eristique de M −1 en fonction de celui de M. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.