Exercices de Math´ematiques R´eduction triangulaire des matrices ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] 1. A = � � −4 0 −2 0 1 0 5 1 3 � �. Montrer qu’il existe P telle que P −1AP = T = � � 1 1 0 0 1 0 0 0 −2 � � 2. Calculer An, pour tout n de Z. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que la matrice A = � � � � 2 3 −4 −4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 � � � � n’est pas diagonalisable. Trouver P inversible telle que T = P −1AP soit triangulaire sup´erieure “la plus simple possible”. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Montrer qu’il existe une matrice inversible P telle que P −1AP = J, avec : A = � � � � 0 1 1 0 −1 −2 1 −2 2 6 −1 4 4 8 −4 7 � � � � J = � � � � 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 � � � � Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer qu’il existe une matrice inversible P telle que P −1AP = J, avec : A = � � � � � � 1 0 −1 1 0 0 −2 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 −1 1 � � � � � � J = � � � � � � −2 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 � � � � � � Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Peut-on diagonaliser A = � � � � 1 −1 0 0 0 0 1 −1 0 0 −1 1 −1 1 0 0 � � � � ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.