Cours de Math´ematiques R´eduction des endomorphismes Sommaire R´eduction des endomorphismes Sommaire I Valeurs et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 Sous-espaces stables par un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Endomorphismes stabilisant les sev d’une somme directe . . . . . . . . 2 I.3 Polynˆomes d’endomorphismes ou de matrices . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 Vecteurs et valeurs propres. D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.5 Valeurs propres d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.6 Vecteurs et valeurs propres. Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.7 Automorphismes int´erieurs, matrices semblables . . . . . . . . . . . . 6 II Polynˆome caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.2 Polynˆome caract´eristique et valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.3 Polynˆome caract´eristique et sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . 9 III Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . 10 III.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.2 Conditions de diagonalisabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 IV Diagonalisation : pratique et applications . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV.1 Diagonalisation d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV.2 Applications de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 V Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.