Probl`emes de Math´ematiques Commutant d’une matrice ´Enonc´e Commutant d’une matrice On d´esigne par n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2, et par Mn(IK) l’alg`ebre sur IK des matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients dans IK, avec IK = IR ou lC. La matrice identit´e de Mn(IK) est not´ee In. Pour toute matrice A de Mn(IK), on appelle commutant de A et on note C(A) l’ensemble des matrices M de Mn(IK) qui commutent avec A : C(A) = {M ∈ Mn(IK), AM = MA}. Pour tous entiers r et s de {1, . . . , n}, on note Ers la matrice de Mn(IK) dont le coefficient situ´e en “ligne r, colonne s” vaut 1 et dont tous les autres coefficients sont nuls. Les n2 matrices Ers, dites matrices ´el´ementaires, forment la base canonique de Mn(IK). Partie I : Propri´et´es g´en´erales des commutants Dans cette question, A est une matrice quelconque de Mn(IK). 1. Montrer que C(A) est une sous-alg`ebre de Mn(IK). [ S ] 2. Montrer que si M est inversible et dans C(A), M −1 appartient `a C(A). [ S ] 3. Soit P une matrice inversible de Mn(IK). Montrer que la restriction `a C(A) de l’application ϕ d´efinie par ϕ(M) = P −1MP est un isomorphisme de C(A) sur C(ϕ(A)). [ S ] Partie II : Commutants des matrices ´el´ementaires Dans cette partie, on ´etudie le commutant des matrices ´el´ementaires et on en d´eduit que les matrices du type λIn sont les seules `a commuter avec toutes les matrices de Mn(IK), ou mˆeme avec seulement certains types de matrices de Mn(IK). 1. Soit (r, s) un couple de {1, . . . , n}2. D´eterminer la forme g´en´erale des matrices de C(Ers). Donner la dimension de C(Ers). [ S ] 2. En d´eduire que les seules matrices de Mn(IK) qui commutent avec toutes les matrices de Mn(IK) sont les matrices scalaires, c’est-`a-dire qui sont du type λIn (λ ∈ IK.) [ S ] 3. Montrer que les seules matrices de Mn(IK) qui commutent avec toutes les matrices in- versibles de Mn(IK) sont les matrices scalaires. Indication : utiliser les matrices In + Ers. [ S ] 4. Soit M une matrice commutant avec toutes les matrices orthogonales de Mn(IK). On veut l`a encore montrer que M est une matrice scalaire. (a) Montrer que M commute avec les matrices Eii. Indication : utiliser la matrice Fii = In − 2Eii. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.