Exercices de Math´ematiques Familles libres, li´ees, g´en´eratrices (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit u1, u2, . . . , un une famille de n vecteurs de E. On d´efinit les vecteurs vk = u1 + · · · + uk, pour k compris entre 1 et n. Montrer que (u) est libre (resp. g´en´eratrice) ⇔ il en est de mˆeme de (v). Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient A, B deux polynˆomes de IK[X], non constants, et premiers entre eux. Soit n dans IN. Montrer que les Pk = AkB n−k (avec 0 ≤ k ≤ n) forment une famille libre. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient α et β deux scalaires disctincts. Soit n un entier naturel. Montrer que les Pk = (X − α)k(X − β)n−k, o`u 0 ≤ k ≤ n, forment une base de IKn[X]. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient a, b, c trois r´eels quelconques. Montrer que fa : x �→ sin(x + a), fb : x �→ sin(x + b) et fc : x �→ sin(x + c) sont li´ees. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit E l’espace vectoriel de toutes les applications de IR dans IR. On note fk : x �→ ;;;x − k;;;. Montrer que la famille (f1, f2, . . . , fn) est libre. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.