Exercices de Math´ematiques Formes lin´eaires, hyperplans ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : E → IK une forme lin´eaire. Montrer que f est identiquement nulle ou surjective. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que deux formes lin´eaires non nulles ont mˆeme noyau⇔elles sont proportionnelles. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Dans IRn, base et dimension de H = {u = (x1, x2, · · · , xn), n� k=1 xk = 0}. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un IK−espace vectoriel de dimension 3. Soit g ∈ L(E), tel que g2 = 0. Montrer qu’il existe a non nul dans E et f dans E∗ tel que : ∀ u ∈ E, g(u) = f(u)a. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soient f1, . . . , fp des formes lin´eaires ind´ependantes sur IKn. Soit f une forme lin´eaire sur IKn. 1. Montrer que f est combinaison lin´eaire de f1, f2, . . . , fp ⇔ le noyau de f contient l’inter- section des noyaux des fk. 2. Montrer que ce r´esultat reste vrai si f1, f2, . . . , fp sont li´ees. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.