Exercices de Math´ematiques Applications lin´eaires en dimension finie (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. 1. Soient f et g dans L(E), tels que f ◦ g = 0. Montrer que rang f + rang g ≤ n. 2. Soit f ∈ L(E). Montrer qu’il existe g dans L(E) tel que f ◦ g = 0 et rang f + rang g = n. 3. Soit f dans L(E), avec f ̸= 0 et rang f < n. Montrer qu’il existe g dans L(E) tel que f ◦ g = 0, g ◦ f ̸= 0 et rang f + rang g = n. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Soit u un endomorphisme de E, tel que u2 = 0 (c’est-`a-dire tel que Im u ⊂ Ker u.) 1. On suppose qu’il existe v dans L(E) tel que v ◦ u + u ◦ v = Id. Montrer que la restriction de v `a Ker u est injective et que Ker u = Im u. 2. On suppose r´eciproquement que Ker u = Im u. Soit F un suppl´ementaire de ce sous-espace dans E. Montrer que pour tout x de E il existe un couple unique (y, z) de F 2 tel que x = y +u(z). 3. Soit v l’application qui `a x associe le vecteur z dans l’´ecriture pr´ec´edente. Montrer que v est un endomorphisme de E et que v ◦ u + u ◦ v = Id. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit f un endomorphisme de E. 1. Montrer l’´equivalence : Im f + Ker f = E ⇔ Im f = Im f 2. 2. Montrer l’´equivalence : Im f ∩ Ker f = {0} ⇔ Ker f = Ker f 2. 3. On suppose que E est de dimension finie. Montrer : Im f = Im f 2 ⇔ Ker f = Ker f 2 ⇔ E = Im f ⊕ Ker f. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit f un endomorphisme de E (avec dim E = n < ∞). Montrer l’´equivalence : Im f = Ker f ⇔ (f 2 = 0, n est pair et rang(f) = n 2). Montrer qu’alors il existe une base de E de la forme u1, u2, . . . , up, f(u1), f(u2), . . . , f(up). Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur IR. Soit f un endomorphisme de E tel que f 3 = Id. 1. Montrer que Im (f − Id) ⊂ Ker (f 2 + f + Id) et E = Im (f − Id) ⊕ Ker (f − Id). 2. Soit x un vecteur non nul de Im (f − Id). Montrer que f(x) appartient `a Im (f − Id) et que x et f(x) sont libres. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.