Exercices de Math´ematiques Applications lin´eaires et sommes directes ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un lC−espace vectoriel, et f un endomorphisme de E tel que f ◦ f = −Id. Soient V = {x ∈ E, f(x) = ix} et W = {x ∈ E, f(x) = −ix}. Montrer que V et W sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dans E. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f un endomorphisme de E, et deux scalaires distincts α et β. Montrer que Ker (f 2 − (α + β)f + αβId) = Ker (f − αId) ⊕ Ker (f − βId). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit f un endomorphisme de E. Montrer que E = Ker f ⊕ Im f ⇔ la restriction de f `a Im f est un automorphisme de Im f. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un lC−espace vectoriel, et soit f un endomorphisme de E tel que f 3 = Id. Montrer que E = E1 ⊕ Ej ⊕ Ej2, avec la notation Eλ = Ker (f − λId). Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit f un endomorphisme de E, et P, Q deux polynˆomes premiers entre eux. Montrer que Ker (PQ)(f) = Ker P(f) ⊕ Ker Q(f). Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦ g ◦ f = f et g ◦ f ◦ g = g. 1. Montrer que E = Ker f ⊕ Im g. 2. Montrer que f(Im g) = Im f. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.