Exercices de Math´ematiques Bases d’un espace vectoriel ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Dans IK[X], on se donne une suite de polynˆomes non nuls (Pn)n≥0. On suppose que pour tout entier n de IN, on a deg Pn < deg Pn+1. 1. Montrer que la famille (Pn)n≥0 est libre. 2. Montrer que c’est une base de IK[X] si et seulement si, pour tout n, deg Pn = n. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 1. Soit f un endomorphisme de E tel que f n = 0 et f n−1 ̸= 0. Soit x un vecteur de E tel que f n−1(x) ̸= 0. Montrer que la famille x, f(x), . . . , f n−1(x) constitue une base de E. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Dans IR4, Soit E l’ensemble des u = (x, y, z, t) tels que � x + 3y − 2z − 5t = 0 x + 2y + z − t = 0 Montrer que E est un sous-espace vectoriel ; en donner la dimension et une base. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] On se donne une subdivision x0 = a < x1 < . . . xn−1 < xn = b du segment [a, b]. Soit F l’ensemble des applications f : [a, b] → IR qui sont affines sur chaque [xk, xk+1]. Montrer que F est un espace vectoriel. En donner la dimension et une base. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.