Exercices de Math´ematiques Sous-espaces vectoriels de dimension finie ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] On d´efinit les trois sous-espaces suivants de E = IK3[X] : � � � F = {P ∈ E, P(0) = P(1) = P(2) = 0} G = {P ∈ E, P(1) = P(2) = P(3) = 0} H = {P ∈ E, P(X) = P(−X)} – Montrer que F ⊕ G = {P ∈ E, P(1) = P(2) = 0}. – Montrer que E = F ⊕ G ⊕ H. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un IK-espace vectoriel de dimension finie n. Soient F et G deux sous-espaces de E, tels que dim(F) = dim(G) = r. Montrer qu’il existe un sous-espace H de E tel que E = F ⊕ H = G ⊕ H. Indication : utiliser une r´ecurrence descendante sur l’entier r. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Dans IR4, d´eterminer la dimension du sous-espace vectoriel engendr´e par : a = (1, 2, 2, 1), b = (4, 3, 10, 5), c = (−1, −3, 4, 0), d = (0, 4, −3, −1). Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un IK-espace vectoriel de dimension finie. 1. Soient F1, F2, . . . , Fn des sous-espaces de E. Rappeler l’´equivalence : n� j=1 Fj est directe ⇔ dim n� j=1 Fj = n� j=1 dim Fj. 2. Soient p1, . . . , pn des projecteurs de E, tels que n� j=1 pj = IdE. Montrer que E = Im p1 ⊕ Im p2 ⊕ · · · ⊕ Im pn. 3. Prouver que pour tous indices distincts i et j, on a : pi ◦ pj = 0. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que l’application ϕ d´efinie par ϕ(P) = P + P ′ est un automorphisme de IK[X]. En est-il de mˆeme avec l’application P �→ ψλ(P) = λP − XP ′, o`u λ ∈ IR ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.